Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Thời gian (phút)	\([6;7)\)	\([7;8)\)	\([8;9)\)	\([9;10)\)	\([10;11)\)
Số học sinh	8	10	12	14	7

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng

Gọi \(M, m\) theo thứ tự là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên đoạn \([-1;3]\). Giá trị \(M.m\) bằng

Tốc độ v (km/h)	\([150; 155)\)	\([155; 160)\)	\([160; 165)\)	\([165; 170)\)	\([170; 175)\)	\([175; 180]\)
Số lần	18	28	35	43	41	35

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn kết quả đến hàng phần chục) là

Thời gian dùng (phút)	\([0;10)\)	\([10;20)\)	\([20;30)\)	\([30;40)\)
Số bạn	15	10	5	2

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Đáp án: 15

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác đáy \(BCD\). Theo tính chất trọng tâm, ta có:

\[ \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \]

- Biến đổi biểu thức vectơ ban đầu bằng cách chèn điểm \(G\):

\[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}) + (\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GD}) \]

\[ = 3\overrightarrow{AG} + (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD}) = 3\overrightarrow{AG} \]

- Do đó, độ dài của tổng vectơ là: \( |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}| = 3AG \).

- Vì \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(AG\) chính là đường cao hạ từ đỉnh \(A\) xuống mặt phẳng đáy. Công thức tính đường cao của tứ diện đều cạnh \(s\) là:

\[ AG = s\sqrt{\frac{2}{3}} \]

- Thay \(s = 15\) vào công thức:

\[ 3AG = 3 \cdot 15\sqrt{\frac{2}{3}} = 15 \cdot \sqrt{3 \cdot 2} = 15\sqrt{6} \]

- Theo bài ra, độ dài này bằng \(a\sqrt{6}\), suy ra \(a = 15\).

Thời gian (giây)	\([10; 10,4)\)	\([10,4; 10,8)\)	\([10,8; 11,2)\)	\([11,2; 11,6)\)	\([11,6; 12,0]\)
Số lần chạy	3	8	6	2	1

Đáp án: 0.17

Hướng dẫn giải:

- Xác định giá trị đại diện \(x_i\) cho từng nhóm:

• Nhóm \([10; 10,4)\): \(x_1 = 10,2\); tần số \(n_1 = 3\)
• Nhóm \([10,4; 10,8)\): \(x_2 = 10,6\); tần số \(n_2 = 8\)
• Nhóm \([10,8; 11,2)\): \(x_3 = 11,0\); tần số \(n_3 = 6\)
• Nhóm \([11,2; 11,6)\): \(x_4 = 11,4\); tần số \(n_4 = 2\)
• Nhóm \([11,6; 12,0]\): \(x_5 = 11,8\); tần số \(n_5 = 1\)

- Tổng số lần chạy (cỡ mẫu): \(n = 3 + 8 + 6 + 2 + 1 = 20\).

- Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm \(\bar{x}\):

\[ \bar{x} = \frac{3 \cdot 10,2 + 8 \cdot 10,6 + 6 \cdot 11,0 + 2 \cdot 11,4 + 1 \cdot 11,8}{20} = \frac{216}{20} = 10,8 \]

- Tính phương sai \(s^2\):

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3(10,2 - 10,8)^2 + 8(10,6 - 10,8)^2 + 6(11,0 - 10,8)^2 + 2(11,4 - 10,8)^2 + 1(11,8 - 10,8)^2 \right] \]

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 3(-0,6)^2 + 8(-0,2)^2 + 6(0,2)^2 + 2(0,6)^2 + 1(1)^2 \right] \]

\[ s^2 = \frac{1}{20} \left[ 1,08 + 0,32 + 0,24 + 0,72 + 1,00 \right] = \frac{3,36}{20} = 0,168 \]

- Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, ta được phương sai bằng 0,17.

Đáp án: 3

Hướng dẫn giải:

- Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) có gốc \(O\) trùng với điểm xuất phát trên mặt đất. Trục \(Ox\) hướng về phía Nam, trục \(Oy\) hướng về phía Đông, và trục \(Oz\) hướng thẳng đứng lên trời.

- Từ dữ kiện bài toán, tọa độ của hai khinh khí cầu lần lượt là:

• Khinh khí cầu thứ nhất: \(K_1(2,5; 2; 0,8)\)
• Khinh khí cầu thứ hai (phía Bắc và phía Tây ngược dấu với Nam và Đông): \(K_2(-1,5; -3; 0,6)\)

- Gọi vị trí tiếp nhiên liệu trên mặt đất là \(M(x; y; 0)\). Tổng khoảng cách cần tối thiểu hóa là \(MK_1 + MK_2\).

- Lấy đối xứng điểm \(K_2\) qua mặt phẳng mặt đất \((Oxy)\), ta được \(K_2'(-1,5; -3; -0,6)\). Khi đó, \(MK_2 = MK_2'\), suy ra \(MK_1 + MK_2 = MK_1 + MK_2' \geq K_1K_2'\).

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(K_1K_2'\) với mặt phẳng \((Oxy)\).

- Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{K_2'K_1} = (4; 5; 1,4)\). Phương trình đường thẳng \(K_1K_2'\) là:

\[ x = 2,5 + 4t;\quad y = 2 + 5t;\quad z = 0,8 + 1,4t \]

- Giao điểm \(M\) ứng với \(z = 0 \Rightarrow 0,8 + 1,4t = 0 \Rightarrow t = -\frac{4}{7}\).

- Thay giá trị \(t\) vào để tìm \(x, y\):

\[ x = 2,5 + 4\left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{3}{14} \text{ (km)} \]

\[ y = 2 + 5\left(-\frac{4}{7}\right) = -\frac{6}{7} \text{ (km)} \]

- Vì \(x = \frac{3}{14} > 0\) nên điểm này cách điểm xuất phát \(\frac{3}{14}\) km về phía Nam \(\Rightarrow a = \frac{3}{14}\).

- Vì \(y = -\frac{6}{7} < 0\) nên điểm này cách điểm xuất phát \(\frac{6}{7}\) km về phía Tây \(\Rightarrow b = \frac{6}{7}\).

- Tính giá trị tổng: \(2a + 3b = 2\left(\frac{3}{14}\right) + 3\left(\frac{6}{7}\right) = \frac{3}{7} + \frac{18}{7} = \frac{21}{7} = 3\).

Đáp án: 1732

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(O\) là đỉnh nơi bốn sợi dây tụ lại (móc cần cẩu). Do hình đối xứng nên góc hợp bởi các dây cáp đối diện nhau là \(60^\circ\). Suy ra góc giữa mỗi dây cáp với trục thẳng đứng \(\alpha\) chính bằng một nửa góc đó: \(\alpha = 30^\circ\).

- Khi cần cẩu nâng thùng hàng lên theo phương thẳng đứng với khối lượng tối đa, tổng hình chiếu của 4 lực căng dây lên phương thẳng đứng sẽ cân bằng với trọng lực \(P\) của thùng hàng:

\[ P = F_{1z} + F_{2z} + F_{3z} + F_{4z} = 4 \cdot F_{\text{max}} \cdot \cos(\alpha) \]

- Thay các giá trị \(F_{\text{max}} = 5000N\) và \(\alpha = 30^\circ\) vào công thức:

\[ P = 4 \cdot 5000 \cdot \cos(30^\circ) = 20000 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10000\sqrt{3} \approx 17320,51 \text{ (N)} \]

- Khối lượng tối đa \(m\) của thùng hàng được tính qua công thức \(P = m \cdot g\):

\[ m = \frac{P}{g} = \frac{10000\sqrt{3}}{10} = 1000\sqrt{3} \approx 1732,05 \text{ (kg)} \]

- Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta được khối lượng tối đa là 1732 kg.

Đáp án: 144

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(x\) là tốc độ di chuyển của xe chở hàng (dặm/giờ), điều kiện: \(0 < x \le 50\).

- Tổng quãng đường vận chuyển là \(100\) dặm nên:

• Tổng chi phí nhiên liệu cho cả chuyến đi là: \[ 100 \cdot C(x) = 100 \cdot \frac{1}{5}\left(\frac{64}{x} + \frac{9}{100}x\right) = 20\left(\frac{64}{x} + \frac{9}{100}x\right) = \frac{1280}{x} + \frac{9}{5}x \]
• Thời gian xe di chuyển hết quãng đường là: \(t = \frac{100}{x}\) (giờ).
• Tổng chi phí thuê tài xế cho cả chuyến đi là: \(16 \cdot \frac{100}{x} = \frac{1600}{x}\) (USD).

- Hàm tổng chi phí cho mỗi chuyến hàng là:

\[ f(x) = \frac{1280}{x} + \frac{9}{5}x + \frac{1600}{x} = \frac{2880}{x} + \frac{9}{5}x \]

- Áp dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho hai số dương \(\frac{2880}{x}\) và \(\frac{9}{5}x\), ta có:

\[ f(x) \ge 2 \sqrt{\frac{2880}{x} \cdot \frac{9}{5}x} = 2 \sqrt{576 \cdot 9} = 2 \cdot 24 \cdot 3 = 144 \]

- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\[ \frac{2880}{x} = \frac{9}{5}x \iff 9x^2 = 14400 \iff x^2 = 1600 \implies x = 40 \text{ (thỏa mãn } 0 < x \le 50) \]

- Vậy chi phí nhỏ nhất mà công ty phải trả trên mỗi chuyến hàng là 144 USD.

Đáp án: 9525

Hướng dẫn giải:

- Gọi \(P\) là tổng trọng lượng của chiếc xe ô tô và khung sắt (\(P = P_{\text{ô tô}} + P_{\text{khung}}\)).

- Để hệ thống cân bằng và được kéo lên theo phương thẳng đứng, tổng hình chiếu của các lực căng dây cáp lên phương thẳng đứng phải bằng trọng lượng \(P\).

- Gọi \(T\) là cường độ lực căng của mỗi sợi cáp, \(\alpha\) là góc tạo bởi sợi cáp và mặt phẳng \((ABCD)\). Vì 4 sợi cáp đối xứng nên hình chiếu của mỗi lực căng lên phương thẳng đứng là \(T\sin\alpha\).

- Phương trình cân bằng lực theo phương thẳng đứng là: \(4T\sin\alpha = P\).

- Lúc đầu, \(\alpha_1 = 60^\circ\), gọi lực căng mỗi sợi là \(T_1\). Ta có:

\[ 4T_1\sin 60^\circ = P \implies 4T_1\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = P \implies 2\sqrt{3}T_1 = P \quad (1) \]

- Lúc sau, góc giảm đi \(15^\circ\) nên \(\alpha_2 = 60^\circ - 15^\circ = 45^\circ\). Lực căng tăng thêm \(725\text{ N}\) nên \(T_2 = T_1 + 725\). Ta có:

\[ 4(T_1 + 725)\sin 45^\circ = P \implies 4(T_1 + 725)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = P \implies 2\sqrt{2}(T_1 + 725) = P \quad (2) \]

- Từ (1) và (2), ta thiết lập được phương trình:

\[ 2\sqrt{3}T_1 = 2\sqrt{2}(T_1 + 725) \implies \sqrt{3}T_1 - \sqrt{2}T_1 = 725\sqrt{2} \implies T_1 = \frac{725\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \]

- Thay \(T_1\) vào (1) để tính tổng trọng lượng \(P\):

\[ P = 2\sqrt{3} \cdot \frac{725\sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{1450\sqrt{6}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \approx 11174,776\text{ N} \]

- Trọng lượng của chiếc xe ô tô là:

\[ P_{\text{ô tô}} = P - P_{\text{khung}} \approx 11174,776 - 1650 = 9524,776\text{ N} \]

- Làm tròn đến hàng đơn vị, trọng lượng chiếc xe ô tô là \(9525\text{ N}\).